Как найти приведенную толщину металла


Калькулятор приведенной толщины металла | ЛенПожЗащита

Приведённая толщина металла (ПТМ) - это важнейший параметр, на основе которого рассчитывается огнезащита несущих металлических конструкций, определенный в НПБ 236-97, как отношение площади поперечного сечения металлоконструкции к периметру её обогреваемой поверхности (таким образом, приведенная толщина металла не равна толщине металла).

Калькулятор ПТМ позволяет быстро произвести онлайн расчет приведенной толщины металла (ПТМ) для огнезащиты и дальнейшего расчёта необходимой толщины выбранного огнезащитного покрытия, с учётом обогреваемой поверхности, основных строительных профилей: двутавра, швеллера, уголка, профиля, трубы по размерам и листа по толщине.

Как пользоваться калькулятором (показать/скрыть)

Как пользоваться калькулятором?

1. Вначале выберите интересующий вас профиль и стандартный тип металла.

2. В левой таблице выберите:

  • сортамент для двутавров и швеллеров;
  • высоту, ширину и толщину для уголков и профилей;
  • или введите свои значения для сварных двутавров, трубы или листа;

3. В правой таблице выберите обогреваемый периметр, стандартно выбраны все стороны и выделены синим цветом (для того чтобы исключить сторону, нажмите на неё на схематичном рисунке металла).

4. Готово! Вычисления отображаются моментально, на основе выбранных параметров, справа от изображения металла: приведенная толщина металла, обогреваемый периметр, площадь поверхности на один погонный метр и на одну тонну профиля.

Расшифровка наименований для двутавров:

  • Тип Б - Нормальные двутавры
  • Тип Ш - Широкополочные двутавры
  • Тип К - Колонные двутавры
  • Тип С - Свайные двутавры
  • Тип ДБ - Дополнительные балочные двутавры
  • Тип ДК - Дополнительные колонные двутавры

Исследование коэффициента утонения по толщине формовочных деталей в процессе одноточечной инкрементальной формовки

Чрезмерное уменьшение толщины зоны деформации при одноточечной инкрементальной формовке металлического листа имеет важное влияние на предел формовки. Прогнозирование толщины зоны деформации - важный подход к контролю степени утонения. Взяв алюминий 1060 в качестве объекта исследования, был проанализирован принцип деформации толщины в процессе одноточечной инкрементальной формовки; конечно-элементная модель была создана с использованием ABAQUS.Формула с высокой точностью для прогнозирования толщины зоны деформации была адаптирована к результатам моделирования, и было проанализировано влияние параметров процесса, таких как диаметр инструмента, шаг уменьшения, скорость подачи, толщина листа и угол формования, на степень утонения. Точность конечно-элементного моделирования была проверена экспериментально. Предложен способ управления скоростью прореживания путем изменения траектории формования. Результаты показали, что значение, полученное с помощью подобранной формулы, ближе к экспериментальным результатам, чем значение, полученное по теореме синусов.Скорость утонения зоны деформации увеличивается с увеличением диаметра инструмента, угла формования и толщины листа и уменьшается с увеличением шага вниз, в то время как скорость подачи не оказывала существенного влияния на степень утонения. Наиболее важным фактором степени утонения является угол формования, и степень утонения может быть эффективно снижена за счет использования траектории формования с равномерно распределенной точкой прессования.

1. Введение

Одноточечная инкрементальная формовка (SPIF) - это новый тип технологии формовки листового металла, объединяющий технологию числового управления (ЧПУ), компьютерные технологии и технологию формовки пластмасс [1].В процессе формования в соответствии с формой целевой детали программное обеспечение CAM используется для создания траектории инструмента с серией высокопрофильных NC-кодов, и инструмент впоследствии следует созданной траектории инструмента и деформирует лист небольшими приращениями, накапливая пластик. деформация между инструментом и материалом, которая может привести к получению целевой формы [2]. Лучшая гибкость, более низкая стоимость, высокая степень автоматизации и улучшенная формуемость являются особенностями этого процесса при индивидуальном и мелкосерийном производстве деталей из листового металла, особенно в искусственных, медицинских, аэрокосмических и бытовых изделиях [3, 4].

Качество формовки, в том числе чрезмерная скорость утонения толщины стенки, по-прежнему остается одной из самых серьезных проблем при развитии точечной инкрементальной штамповки [5–7]. Коэффициент утонения по толщине напрямую связан с формуемостью формованных деталей; Таким образом, изучение закона толщины формируемых деталей имеет большое значение [8]. Исследователи со всего мира проводят множество исследований по правилам толщины деталей. McAnulty et al. [9] проанализировали экспериментальные результаты из 35 статей, в которых сообщалось об исследовании влияния параметров процесса (диаметр инструмента, форма инструмента, шаг вниз, скорость подачи, направление вращения и скорость шпинделя) на формуемость в SPIF.Malhotra et al. [10] использовали модель разрушения и анализ методом конечных элементов для прогнозирования разрушения в SPIF конуса и частей воронки; Формирующие силы, глубина трещин и утонение по результатам анализа методом конечных элементов были использованы для проверки прогнозов, и результаты показали, что локальный характер деформации был основным фактором повышения формуемости в SPIF. Hussain et al. [11] получили окончательную толщину формовочных деталей с переменным углом стенки по синусоидальному закону; Исходя из этого, максимальный угол стены был получен из четырех усеченных конусов с переменным углом стены.Джексон и Олвуд [12] проанализировали толщину стенки, используя механизм деформации SPIF. Ким и Парк [13] проанализировали влияние параметров обработки на толщину стенки. Bouffioux et al. [14] смоделировали процесс формования и обеспечили лучший прогноз толщины стенки. Silva et al. [15] исследовали механизмы разрушения в SPIF с разными радиусами инструмента и эволюцию толщины стенки усеченных пирамид с пятью различными радиусами инструмента; результаты показали, что существует критический порог отношения между толщиной листа и радиусом инструмента, который позволяет различать трещины с предшествующим образованием шейки и без нее.Янг и Джесвиет [16] обнаружили, что толщина деформируемой области зависит только от угла формования путем теоретического анализа, и использовали теорему косинусов для предсказания значения толщины листа. Hirt et al. [17] подтвердили теорему косинусов с помощью экспериментов и моделирования методом конечных элементов. Аль-Гамди и Хуссейн [18] обнаружили, что отношение радиуса инструмента к толщине листа может контролировать формуемость в SPIF; отношение было пороговым значением, и было замечено, что формуемость увеличивается с уменьшением радиуса инструмента выше порогового значения и уменьшается с уменьшением радиуса инструмента ниже порогового значения.Martins et al. [19] предположили, что теорема косинусов подходит для предсказания толщины деформации и что только деформация сдвига происходит в процессе формования листа. Чжоу [20] изучил влияние угла формования на величину толщины области деформации и проанализировал толщину области деформации в прямой стенке. Сяо и Гао [21] применили метод численного моделирования и эксперимента для изучения критического угла формования однородной толщины при пошаговом формовании одной точки в процессе конической детали.Ли [22] обнаружил, что минимальная толщина листа тесно связана с диаметром инструмента и что деформационное упрочнение может привести к значительному повышению прочности листового материала. Ю и Гао [23] предложили теоретическую формулу расчета минимальной толщины стенки и успешно уменьшили утонение листа за счет многоступенчатого формования. Цао и Гао [24] нашли метод производства деталей с одинаковой толщиной стенок посредством увеличения переменных обработки после анализа взаимосвязей между подачей, толщиной листового материала, углом формования и максимальной стабильной площадью.Вэй и Гао [25] разработали программное обеспечение для прогнозирования толщины на основе закона синусов, которое могло точно предсказать толщину детали. Чжао и Чжань [26] получили распределение утонения и картину деформации листа после изучения закона дефектов металла в процессе формовки.

Текущее исследование утонения толщины в основном основано на деформации сдвига, которая возникает под действием формовочного инструмента на листовой материал, для которого закон синуса не подходит для прогнозирования и контроля толщины стенки.В этой статье одноточечный процесс инкрементального формования алюминиевого листа 1060 смоделирован с помощью программного обеспечения для моделирования методом конечных элементов ABAQUS для изучения влияния различных параметров процесса, включая диаметр инструмента, шаг вниз, скорость подачи, толщину листа и угол формования на истончение стен. Полученные экспериментальные результаты подобраны с помощью MATLAB для создания эмпирической формулы, которая могла бы лучше предсказать толщину стенки, и формула проверена экспериментами на фрезерном станке HASS; получены формула, предсказывающая толщину стенки в зоне формовки, и метод управления скоростью утонения.

2. Теоретические основы

Одноточечный инкрементальный процесс формовки - это нелинейный процесс большого смещения. Пластическая деформация металлического материала приводит к непрерывному сжатию материала при перемещении инструмента. Поскольку осевая сила больше, чем радиальная и тангенциальная силы в процессе формования, обычно предполагается, что деформация сдвига происходит только в осевом направлении, как показано на Рисунке 1.


Согласно принципу постоянного объема при пластической деформации , может быть получена следующая формула: Из приведенного выше можно рассчитать как.

Скорость утонения стенки является важным показателем формуемости, который может отражать закон изменения толщины и изменение объема металлического листа. Когда скорость утонения стенки превышает определенный диапазон, деталь будет иметь меньшую прочность, что сильно влияет на точность формованной детали. Скорость утонения стенки может быть определена следующим образом:

В процессе формовки происходит как радиальное движение, так и тангенциальное движение, когда инструмент движется в осевом направлении, и лист будет генерировать радиальную деформацию и тангенциальную деформацию за счет силы сжатия и силы трения. формовочного инструмента.Хотя тангенциальная деформация и радиальная деформация меньше осевой деформации, они все же влияют на распределение толщины стенки. Следовательно, скорость утонения, полученная по формулам (1) и (2), недостаточно точна, и скорость утонения формируемой детали зависит не только от начальной толщины и угла формования, но и диаметра формования инструмента, шаг вниз , и скорость подачи. Основанная на формуле (1), систематически исчерпывающая формула расчета толщины стенки дается формулой где - неопределенные коэффициенты, - диаметр инструмента, - ступенька вниз и - скорость подачи.В этой статье связь между скоростью утонения стенки и параметрами обработки устанавливается на основе результатов моделирования и получены неопределенные коэффициенты; формула и результаты моделирования проверены экспериментально.

3. Моделирование методом конечных элементов
3.1. Simulation Model

Коммерческое программное обеспечение конечных элементов ABAQUS может решать проблемы нелинейных материалов и геометрически нелинейные задачи, а также точно моделировать контактный процесс с длительным временем контакта и большой пластической деформацией.ABAQUS используется как программа моделирования методом конечных элементов в сочетании с характеристиками SPIF. Материал листа - алюминий 1060; образцы показаны на рисунке 2. Испытание на растяжение проводят на машине для испытания на растяжение HT2402, как показано на рисунке 3; скорость нагружения составляет 1,5 мм / мин, а температура соответствует комнатной температуре (20 ° C), при этом каждый образец подвергают трем повторным испытаниям, и среднее значение принимают в качестве окончательного результата испытания образца на растяжение. Свойства материала и деформационные свойства показаны в таблицах 1 и 2 соответственно.При выполнении моделирования, поскольку экспериментальное устройство SPIF является относительно сложной экспериментальной системой, для уменьшения сложности моделирования и сокращения времени моделирования используются некоторые упрощения при неизменном соотношении относительного движения. Модель состоит из сферического формовочного инструмента, приспособления и металлического листа; крепление упрощено как два кольца одинакового размера. Модель может удовлетворять соотношению относительного движения в процессе формования путем применения граничных условий.Формовочные инструменты и приспособления рассматриваются в модели как твердые тела; твердое тело не участвует в вычислении напряжений и деформаций, тем самым экономя вычислительные ресурсы ЦП и сокращая время вычислений. Размер листа 140 мм × 140 мм; внешний радиус приспособления составляет 70 мм, внутренний радиус приспособления - 55 мм, а верхний радиус формирующей части - 45 мм. Параметры процесса зависят от условий эксперимента. SPIF - это сложный процесс пластического формования и проблема динамического контакта, требующая высокой эффективности и стабильного алгоритма динамических свойств.Взяв в качестве примера A1 в таблице 3, время моделирования составляет 121381 с, и численное моделирование проводится на компьютере, оснащенном Intel Core i7-6700 (3,4 ГГц) и 32 ГБ памяти.




Материал Плотность Модуль упругости (ГПа) Коэффициент Пуассона Предел текучести (МПа)

Al 1060 900 2.71 70 0,3 30


Напряжение (МПа) 20 44 64 77 87 91 98

Напряжение 0,002 0,0169 0,0507 0,0845 0,1183 0.1352 0,169


Номер Диаметр инструмента (мм) Шаг вниз (мм) Скорость подачи (мм / мин) Угол формования (°) Толщина листового металла (мм)

A1 6 1 200 45 0,8
A2 10 1 200 45 0.8
A3 14 1 200 45 0,8
B1 10 0,6 200 45 0,8
B2 10 0,8 200 45 0,8
B3 10 1 200 45 0,8
C1 10 1 100 45 0.8
C2 10 1 200 45 0,8
C3 10 1 300 45 0,8
D1 10 1 200 45 0,8
D2 10 1 200 53 0,8
D3 10 1 200 60 0.8
E1 10 1 200 45 0,6
E2 10 1 200 45 0,8
E3 10 1 200 45 1

Выбор единиц и разделение сети должны соответствовать точным и эффективным принципам; Таким образом, для моделирования процесса формовки был выбран элемент оболочки S4R, а размер ячеек 1 мм × 1 мм.Формовочный инструмент и приспособление не нужно разделять, поскольку они являются твердыми телами. Была использована модель контакта поверхность-поверхность, выбран явный динамический алгоритм и применена штрафная функция. Кулоновское трение было выбрано в качестве типа трения, поскольку тангенциальная сила меньше осевой и радиальной сил.

Поскольку траектория формовочного инструмента сложна в процессе формовки, необходимо моделировать траекторию с помощью периодических амплитудных кривых при моделировании формовочных частей конуса.Формирующий инструмент будет следовать в направлении X и следовать в направлении Y , где и - радиус, а - время шага анализа; движения по направлениям X и Y могут быть синтезированы для создания траектории для формирующего инструмента. КЭ-модель и форма цели показаны на рисунках 4 и 5 соответственно.



3.2. Схема моделирования

Существует множество параметров, влияющих на коэффициент утонения по толщине в процессе одноточечного инкрементального формования.Схема моделирования включает пять параметров формования (диаметр формовочного инструмента, шаг вниз, скорость подачи, толщина листа и угол формования), как показано в таблице 3.

3.3. Результаты моделирования и анализ

При использовании функции вида сечения деталь разрезается симметрично вдоль сечения X - Z ; Выбрано «STH», что означает толщину листа; толщина листа выводится для отображения толщины стенки, а функция запроса используется для получения значений толщины пяти ячеек в стабильной зоне, соответственно, расположенных на глубинах 10 мм, 13 мм, 15 мм, 17 мм и 20 мм. мм.Результаты моделирования распределения толщины показаны на рисунке 6, а значения толщины различных параметров показаны в таблице 4.


0,5536 D1 D1 0,4193 0,4193 0,4128 0,49

Номер толщины 10 мм 13 мм 15 мм 17 мм 20 мм Среднее значение (мм)

A1 0,5540 0,5447 0.5529 0,5554 0,5434 0,5501
A2 0,5491 0,5390 0,5414 0,5399 0,5433 0,5425
A3 0,5396 0,53 0,5424 0,5372
B1 0,5448 0,5409 0,5487 0,5508 0,5438 0.5458
B2 0,5506 0,5389 0,5485 0,5517 0,5550 0,5489
B3 0,5471 0,5530 0,5448 0,5448
C1 0,5647 0,5388 0,5515 0,5452 0,5482 0,5497
C2 0,5471 0.5530 0,5448 0,5536 0,5487 0,5494
C3 0,5494 0,5471 0,5518 0,5538 0,5469 0,5498
0,5498
0,5536 0,5487 0,5494
D2 0,4491 0,4420 0,4628 0,4612 0.4562 0,4543
D3 0,3637 0,3365 0,3411 0,3639 0,3583 0,3527
E1 0,4193 0,4061 0,4061
E2 0,5471 0,5530 0,5448 0,5536 0,5487 0,5494
E3 0.6905 0,6804 0,6828 0,6813 0,6847 0,6840

Используя полилинейную регрессию для соответствия приведенным выше данным с помощью MATLAB, можно получить неопределенные коэффициенты (3). Таким образом, толщину стенки можно рассчитать следующим образом:

Начальная толщина t в Таблице 3 и

.

Толщиномеры

Olympus - ведущий поставщик ультразвуковых толщиномеров для точного измерения многих типов материалов.

Наши цифровые толщиномеры предлагают ряд функций для повышения производительности. Изучите различные варианты, соответствующие потребностям вашего приложения, от простых портативных датчиков до продвинутых моделей. Все ультразвуковые толщиномеры Olympus могут измерять толщину с одной стороны детали. Ультразвуковой толщиномер может измерять большинство инженерных материалов, включая пластмассы, металлы, металлические композиты, резину и материалы с внутренней коррозией.Olympus также является ведущим производителем толщиномеров на эффекте Холла, которые идеально подходят для быстрых, точных и точных измерений цветных металлов или тонких материалов, таких как пластиковые бутылки.

Обратитесь к экспертам

Цифровые толщиномеры

В наш ассортимент решений для прецизионных толщиномеров входят базовые портативные толщиномеры, современные ультразвуковые датчики, а также одно- и двухэлементные преобразователи.

Базовый ультразвуковой толщиномер 27MG разработан для выполнения точных измерений с одной стороны на внутренних корродированных или эродированных металлических трубах и деталях. Он легкий, прочный и эргономичный, поэтому управлять им можно одной рукой.

Посмотреть продукт

Усовершенствованный ультразвуковой толщиномер 45MG оснащен стандартными функциями измерения и опциями программного обеспечения. Этот уникальный прибор совместим со всем диапазоном двухэлементных и одноэлементных преобразователей толщины Olympus.

Посмотреть продукт

Универсальный датчик 38DL PLUS ™ может использоваться с двухэлементными преобразователями для измерения корродированных труб с очень точным измерением толщины тонких или многослойных материалов с помощью одноэлементного преобразователя.

Посмотреть продукт

В измерителе толщины на эффекте Холла Magna-Mike ™ используется магнитный зонд для выполнения точных измерений на цветных и тонких материалах, таких как пластиковые бутылки.

Посмотреть продукт

35RDC - это простой ультразвуковой датчик, работающий / непрекращающийся, предназначенный для обнаружения подповерхностных дефектов, вызванных ударным повреждением композитных конструкций самолета.

Посмотреть продукт

Компания Olympus предлагает широкий выбор одно- и двухэлементных преобразователей и принадлежностей для точного измерения толщины и коррозии.

Посмотреть продукт

Часто задаваемые вопросы о толщиномере

Что такое толщиномер?

Толщиномер - это устройство, используемое для быстрого и простого измерения толщины материала. Измеритель толщины полезен во многих отраслях промышленности, но чаще всего используется в машиностроении и производстве, чтобы обеспечить соответствие толщины материала промышленным стандартам и правилам.Наряду с измерением толщины и плотности материала толщиномер можно использовать в качестве дополнительного инструмента обеспечения качества в таких отраслях, как автомобилестроение, для измерения однородности материала и помощи в выявлении скрытых повреждений или дефектов.

Что такое толщиномер на эффекте Холла?

Толщиномеры на эффекте Холла, такие как Olympus Magna-Mike ™ 8600, используют датчик, который реагирует на изменения магнитного поля путем изменения напряжения. Используя небольшую магнитную мишень, они могут обеспечить точные измерения толщины практически любого немагнитного материала, где зонд можно разместить с одной стороны, а цель, например, стальной шар, - с другой.

Как измерить толщину трубы?

Если вы хотите измерить толщину трубы, следует использовать ультразвуковой толщиномер. Переносной толщиномер, такой как 27MG, обеспечивает точные измерения с одной стороны металлических труб и деталей, утончающихся из-за эрозии или коррозии.

Как измерить толщину металла?

Для точного измерения толщины металла неразрушающим способом следует использовать ультразвуковой толщиномер.

Ресурсы для толщиномеров

Знакомство с беспроводной связью Olympus 38-Link ™ для ультразвукового толщиномера 38DL PLUS

Адаптер 38-Link позволяет любому существующему датчику 38DL PLUS отправлять и получать данные с помощью соединения Bluetooth® или беспроводной локальной сети, обеспечивая более эффективные рабочие процессы.

Представляем ультразвуковой толщиномер 45MG

Манометр 45MG оснащен стандартными функциями измерения и опциями программного обеспечения.Этот инновационный прибор, совместимый со всем диапазоном двухэлементных и одноэлементных преобразователей толщины Olympus, может решить практически любую задачу измерения толщины.

Извините, эта страница недоступна в вашей стране

Сообщите нам, что вы ищете, заполнив форму ниже.

.

российских ученых узнали, как уменьшить вес металлических конструкций

Tech

Получить короткий URL

В составе исследовательской группы ученые Московского национального университета науки и технологий «МИСиС» (НИТУ «МИСиС») нашли способ облегчить металлические конструкции. Это стало возможным благодаря новому прочному материалу и его сварочным свойствам.

Результаты исследования опубликованы в Journal of Materials Processing Technology.

По словам ученых, из железа удалось получить высокопрочный материал, который, несмотря на обработку, сохраняет высокие сварочные свойства и может образовывать прочные соединения.Это позволит использовать сварку вместо болтовых соединений в автомобилестроении, самолетостроении и ракетостроении, облегчая металлоконструкции.

По мнению специалистов, для получения высокопрочного материала в химический состав металла необходимо добавить дополнительные элементы. Однако это значительно ухудшает свариваемость материала.

Исследователи НИТУ «МИСиС» нашли способ добиться высокой прочности железа за счет его наноструктурирования путем деформации: шлифовки его внутренней структуры равноканальным угловым прессованием.Таким образом, исследователям удалось повысить прочность металла при сохранении его свариваемости.

«После сварки механические свойства наноструктурированного ARMCO-железа выше, чем у традиционного железа. Это позволяет нам получать структурные элементы с оптимальными характеристиками, поскольку получаемая в результате структура легче из-за большей прочности материала », - пояснил научный сотрудник Хайро Муньос.

Ученые считают, что это исследование открывает новые возможности для изучения наноструктурированных материалов, поскольку проблема свариваемости наноструктурированных материалов все еще находится в зачаточном состоянии.

«Изучение технологических свойств наноструктурированных металлов, таких как свариваемость, позволит, во-первых, однозначно определить область применения этих материалов, а во-вторых, значительно расширить эту область. Мы считаем, что это исследование привлечет внимание ряда исследовательских групп за рубежом. Это позволит достичь новых и еще более перспективных результатов в этой области », - считает Александр Комиссаров, руководитель Лаборатории гибридных наноструктурированных материалов НИТУ« МИСиС ».

Ученые НИТУ «МИСиС» добавили, что в состав исследовательского коллектива входят специалисты, работающие в лабораториях по всему миру.

© Фото: МИСиС

Лаборатория гибридных наноструктурированных материалов

Исследователи хотят продолжить работу в этой области, используя другие технологии сварки, различные материалы и методы производства наноструктурированного металла.

.

Как найти локальные экстремумы с помощью теста первой производной

  1. Образование
  2. Математика
  3. Исчисление
  4. Как найти локальные экстремумы с помощью теста первой производной

Все локальные максимумы и минимумы на графике функции - называются локальными экстремумы - возникают в критических точках функции (где производная равна нулю или не определена). (Не забывайте, однако, что не все критические точки обязательно являются локальными экстремумами.)

Первым шагом в поиске локальных экстремумов функции является определение ее критических чисел (значений x критических точек).Затем вы используете Первый производный тест. Этот тест основан на нобелевских идеях, согласно которым, когда вы переходите вершину холма, вы сначала поднимаетесь, а затем спускаетесь, и что, когда вы въезжаете в долину и выезжаете из нее, вы спускаетесь, а затем вверх. Этот метод исчисления просто потрясающий, а?

На рисунке показан график

Чтобы найти критические числа этой функции, выполните следующие действия.

  1. Найдите первую производную от f , используя правило мощности.

  2. Установите производную равной нулю и решите относительно x.

    x = 0, –2 или 2.

    Эти три значения x- являются критическими числами f. Дополнительные критические числа могли бы существовать, если бы первая производная не была определена при некоторых значениях x , но потому что производная

    определен для всех входных значений, вышеупомянутый набор решений, 0, –2 и 2, является полным списком критических чисел.Поскольку производная (и наклон) f равна нулю при этих трех критических числах, кривая имеет горизонтальные касательные при этих числах.

Теперь, когда у вас есть список критических чисел, вам нужно определить, возникают ли пики или спады при этих значениях x . Вы можете сделать это с помощью первого производного теста. Вот как это сделать:

  1. Возьмите числовую линию и запишите найденные вами критические числа: 0, –2 и 2.

    Вы разделите эту числовую линию на четыре области: слева от –2, от –2 до 0, от 0 до 2 и справа от 2.

  2. Выберите значение из каждого региона, вставьте его в первую производную и отметьте, является ли ваш результат положительным или отрицательным.

    В этом примере вы можете использовать числа –3, –1, 1 и 3 для тестирования регионов.

    Это четыре результата, соответственно: положительный, отрицательный, отрицательный и положительный.

  3. Возьмите числовую прямую, отметьте каждую область соответствующим положительным или отрицательным знаком и укажите, где функция увеличивается и уменьшается.

    Он увеличивается, если производная положительна, и уменьшается, если производная отрицательна. Результатом является так называемый знаковый график функции.

    Этот рисунок просто говорит вам то, что вы уже знаете, если смотрели на график f - что функция идет вверх до –2, вниз от –2 до 0, далее вниз от 0 до 2 и снова вверх от 2 в.

    А вот и ракетостроение. Функция переключается с увеличения на уменьшение при –2; другими словами, вы поднимаетесь до –2, а затем вниз.Итак, при –2 у вас есть холм или локальный максимум. И наоборот, поскольку функция переключается с уменьшения на увеличение на 2, у вас есть впадина или локальный минимум. А поскольку знак первой производной не меняется на ноль, нет ни минимума, ни максимума для этого значения x .

  4. Получите значения функции (другими словами, высоты) этих двух локальных экстремумов, вставив значения x- в исходную функцию.

    Таким образом, локальный максимум находится в (–2, 64), а локальный минимум в (2, –64).Готово.

Чтобы использовать тест первой производной для проверки локального экстремума при определенном критическом числе, функция должна быть непрерывной при этом значении x- .

Об авторе книги

Мэри Джейн Стерлинг занимается алгеброй, бизнес-расчетом, геометрией и конечной математикой в ​​Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг для чайников, в том числе Учебное пособие по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Учебное пособие по алгебре II для чайников.

.

Смотрите также